Question

1．已知函数$f（x）=4{sin^2}x+4\sqrt{3}sinxcosx+5$，若不等式f（x）≤m在$[0，\frac{π}{2}]$上有解，则实数m的最小值为（　　）

• A． 5
• B． -5
• C． 11
• D． -11

Answer 1

分析 利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得m的最小值．

解答 解：函数$f（x）=4{sin^2}x+4\sqrt{3}sinxcosx+5$=4•$\frac{1-cos2x}{2}$+2$\sqrt{3}$sin2x+5=2$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x+7=4（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）+7
=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+7，
若不等式f（x）≤m在$[0，\frac{π}{2}]$上有解，则2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，f（x）∈[5，11]，
则实数m的最小值为5，
故选：A．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．