Question

如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P做x轴的垂线与射线y=

3

x（x≥0）交于点Q，求

OP

•

OQ

的最小值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：设点P的坐标为（cosα，sinα），则Q的坐标为（cosα，

3

cosα）（-

π

2

≤α≤

π

2

），运用向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式和两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的图象和性质，即可得到最小值．

解答： 解：设点P的坐标为（cosα，sinα），
则Q的坐标为（cosα，

3

cosα）（-

π

2

≤α≤

π

2

），
即有

OP

•

OQ

=cos²α+

3

sinαcosα=

1

2

（1+cos2α）+

3

2

sin2α
=

1

2

+sin（2α+

π

6

），
由-

π

2

≤α≤

π

2

，可得-

5π

6

≤2α+

π

6

≤

7π

6

，
即有-1≤sin（2α+

π

6

）≤1，
当且仅当2α+

π

6

=-

π

2

，即α=-

π

3

时，

OP

•

OQ

取得最小值，且为

1

2

-1=-

1

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．