Question

11．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求直线DB₁与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）以C为坐标原点，以CA，CB，CC₁为坐标轴建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的坐标，通过计算$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0得出AC⊥BC₁；
（2）设BC₁与CB₁的交点为O，求出$\overrightarrow{DO}$的坐标，通过证明$\overrightarrow{A{C}_{1}}∥\overrightarrow{DO}$得出AC₁∥DO得出AC₁∥平面CDB₁；
（3）过D作DE⊥BC，连结B₁E，则DE⊥平面BCC₁B₁，于是∠DB₁E为直线DB₁与平面BCC₁B₁所成的角．利用勾股定理求出DE，B₁E，计算tan∠DB₁E．

解答 解：∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC．
以C为坐标原点，以CA，CB，CC₁为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
（1）A（3，0，0），C（0，0，0），B（0，4，0），C₁（0，0，4），
∴$\overrightarrow{AC}$=（-3，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-4，4），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，
∴AC⊥BC₁
（2）设BC₁与CB₁的交点为O，则O为BC₁的中点，∴O（0，2，2），
∵D是AB的中点，∴D（$\frac{3}{2}$，2，0），
∴$\overrightarrow{DO}$=（-$\frac{3}{2}$，0，2），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，4），
∴$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=2$\overrightarrow{DO}$，
∴AC₁∥DO，又DO?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）过D作DE⊥BC，连结B₁E，则DE⊥平面BCC₁B₁，
∴∠DB₁E为直线DB₁与平面BCC₁B₁所成的角．
∵D是AB的中点，∴DE=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{3}{2}$，BE=$\frac{1}{2}BC=2$，
∴B₁E=$\sqrt{B{E}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴tan∠DB₁E=$\frac{DE}{{B}_{1}E}$=$\frac{3\sqrt{5}}{20}$．

点评 本题考查了线面平行，直线垂直的判定，线面角的计算，属于中档题．