Question

(07年全国卷Ⅱ理)（12分）已知函数f(x)=x³－x

（1）求曲线y=f(x)在点M(t, f(t))处的切线方程

（2）设a>0,如果过点（a, b）可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：－a<b<f(a)

Answer 1

解析：（1）求函数的导数；．

       曲线在点处的切线方程为：

              ，

       即    ．

（2）如果有一条切线过点，则存在，使

       ．

于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程

      

有三个相异的实数根．

记    ，

则   

               ．

当变化时，变化情况如下表：

		0
		0		0
	极大值		极小值

由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；

当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．

综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则

即    ．