Question

设函数．

（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若对任意恒成立，求的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）

【解析】

试题分析：（1）当时，，令，得，将定义域分段并研究导函数在每段的符号，判断函数大致图象，进而求得最小值；（2）由已知得则，进而把问题转化为判断函数图象与轴交点的个数问题，或者参变分离为利用导数研究函数的形状，研究直线与其交点个数问题即可；（3）通过对不等式恒等变形，研究其蕴含的数学本质，变形为，观察其结构特征，构造函数，则函数在单调递增，转化为恒成立问题处理．

试题解析：（1）由题设，当时，，则， 1分

∴当在上单调递减，

当，在（）上单调递增， 2分

∴时，取得极小值

∴的极小值为2． 3分

（2）由题设

令，得 4分

设

则 5分

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减。 6分

∴是的唯一极值点，且是极大直点，因此也是的最大值点，

∴的最大值为 7分

又，结合的图像，可知

①当时，函数无零点；

②当时，函数有且只有一个零点；

③当时，函数有两个零点；

④当时，函数有且只有一个零点。 8分

综上所述，当时，函数无零点；

当或时，函数有且只有一个零点；

当时，函数有两个零点； 9分

（3）对任意的恒成立，

等价于恒成立（*） 10分

设

∴（*）等价于在上单调递减． 11分

由在恒成立． 12分

得恒成立， 13分

∴仅在时成立），

∴的取值范围是 14分

考点：1、利用导数求函数的最值、极值；2、函数的零点；3、利用导数研究函数的单调性．