Question

已知f（x）=

1

2x-1

+a是奇函数，求a的值及函数值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得f（-1）+f（1）=0，可得a值，再由定义域和反比例函数以及不等式的性质可得函数的值域．

解答： 解：由2^x-1=≠0可得x≠0，可得函数的定义域为{x|x≠0}，
∵f（x）=

1

2x-1

+a是奇函数，∴f（-1）+f（1）=0，
∴

1

2-1-1

+a+

1

21-1

+a=0，解得a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2x-1

+

1

2

，
∵x≠0，∴2^x＞0且2^x≠1，
∴2^x-1＞-1且2^x-1≠0，
∴

1

2x-1

＞0或

1

2x-1

＜-1，
∴

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

或

1

2x-1

+

1

2

＜-

1

2

，
∴函数的值域为（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）

点评：本题考查函数的奇偶性和函数的值域，属基础题．