Question

9．已知函数$f（x）=（{\sqrt{3}sinωx-cosωx}）•cosωx+\frac{1}{2}$（其中ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2b-a）cosC=c•cosA，且f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）化简函数，根据三角形函数的性质，已知最小正周期为π．求解ω，解得函数y=f（x）的解析式，再求单调递增区间；
（2）根据三角形的内角和定理和正弦定理化简（2b-a）cosC=c•cosA，f（B）恰是f（x）的最大值，求解最大值可得B的大小．即可判断△ABC的形状．

解答 解：函数$f（x）=（{\sqrt{3}sinωx-cosωx}）•cosωx+\frac{1}{2}$
化简：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-co{s}^{2}ωx+\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）
∵最小正周期为π，即$T=π=\frac{2π}{2ω}$
解得：ω=1
∴函数的解析式为 f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，（k∈Z）单调递增区间；即2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
解得：kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
故函数y=f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，（k∈Z）
（2）由（1）可知f（x）取得最大值时，即2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得：x=$\frac{π}{3}$
∵f（B）恰是f（x）的最大值．
故B=$\frac{π}{3}$，
∴A+B=120°
由正弦定理：（2b-a）cosC=c•cosA，
化简：（2sinB-sinA）cosC=cosC•cosA
?2sinB-sinA=cosA
?2sin（120°-A）-sinA=cosA
解得：A=90°
所以：△ABC的形状是直角三角形．

点评 本题考查了三角函数的化简能力和函数性质的运用能力以及对正弦定理的灵活运用．属于中档题．