Question

1．已知实数x，y满足条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{x-y-3≤0}\\{y≤2}\end{array}\right.$，则$\frac{3x-y}{x+y}$的取值范围是[$\frac{1}{3}$，3]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质利用分子常数化，利用换元法结合直线斜率的性质进行求解即可

解答 解：不等式组表示平面区域如图：
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{y=2}\end{array}\right.$得到C（1，2），又A（2，0），
所以区域内的点与原点连线的直线斜率最大为k_OC=2，最小值为k_OA=0，所以$\frac{y}{x}∈[0，2]$，
又$\frac{3x-y}{x+y}$=$\frac{3-\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}=-1+\frac{4}{1+\frac{y}{x}}$，所以1+$\frac{y}{x}$∈[1，3]，$\frac{4}{1+\frac{y}{x}}$∈[$\frac{4}{3}$，4]，-1+$\frac{4}{1+\frac{y}{x}}$∈[$\frac{1}{3}$3]，
所以$\frac{3x-y}{x+y}$的取值范围为[$\frac{1}{3}$，3]．
故答案为：[$\frac{1}{3}$，3]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用分式的性质以及换元法是解决本题的关键．注意数形结合．