Question

9．已知数列{a_n}与{b_n}满足a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）（n∈N^*）．
（1）若a₁=1，b_n=3ⁿ+5，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₁=6，b_n=2ⁿ（n∈N^*）且λa_n＞2ⁿ+n+2λ对一切n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得a_n+1-a_n=4•3ⁿ，由a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），运用等比数列的求和公式，即可得到所求通项；
（2）由a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=2（2ⁿ⁺¹-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），运用等比数列的求和公式可得a_n=2+2ⁿ⁺¹，λa_n＞2ⁿ+n+2λ对一切n∈N^*恒成立，即为2λ＞1+$\frac{n}{{2}^{n}}$，运用单调性可得右边的最大值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）a₁=1，b_n=3ⁿ+5，可得
a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=2（3ⁿ⁺¹-3ⁿ）=4•3ⁿ，
即有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+12+36+…+4•3^n-1=1+4•$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$=2•3ⁿ-5；
（2）a₁=6，b_n=2ⁿ（n∈N^*），可得
a_n+1-a_n=2（b_n+1-b_n）=2（2ⁿ⁺¹-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹，
即有a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=6+4+8+…+2ⁿ=4+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2+2ⁿ⁺¹，
λa_n＞2ⁿ+n+2λ对一切n∈N^*恒成立，
即为2λ＞1+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
由$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$÷$\frac{n}{{2}^{n}}$=$\frac{n+1}{2n}$，
显然n+1≤2n，$\frac{n+1}{2n}$≤1，
即有$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{4}$＞$\frac{3}{8}$＞$\frac{4}{16}$＞…＞$\frac{n}{{2}^{n}}$，
则n=1或2，$\frac{n}{{2}^{n}}$取得最大值$\frac{1}{2}$，
则2λ＞1+$\frac{1}{2}$，解得λ＞$\frac{3}{4}$．
即有实数λ的取值范围是（$\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 本题考查等比数列的求和公式的运用，考查数列恒等式的运用，以及数列不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性，属于中档题．