Question

在三棱锥P-ABC内，已知PA=PC=AC=

2

，AB=BC=1，面PAC⊥面ABC，E是BC的中点．
（1）求直线PE与AC所成角的余弦值；
（2）求直线PB与平面ABC所成的角的正弦值；
（3）求点C到平面PAB的距离．

Answer 1

分析：（1）分别取AB，AC的中点F，H，连接PH，HF，HE，EF，根据三角形中位线定理可得EF∥AC，即∠PEF是异面直线PE与AC所成的角或补角，解△PEF即可得到答案．
（2）由PA=PC，H是AC的中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，我们易得PH⊥AC，再由面面垂直的性质，得到PH⊥面ABC，故∠PBH是直线PB与平面ABC所成的角，解△PBH即可得到直线PB与平面ABC所成的角的正弦值；
（3）利用等体集法，根据V_P-ABC=V_C-PAB，分别求出棱锥P-ABC的体积及底面三角形PAB的面积，进而得到点C到平面PAB的距离．

解答：解：（1）分别取AB，AC的中点F，H，连接PH，HF，HE，EF
由于E、F分别是BC、AB的中点，故EF是△ABC的中位线，则有EF∥AC，
故∠PEF是异面直线PE与AC所成的角或补角
在△PEF中，PE=PF=

7

2

，EF=

2

2

故cos∠PEF=

14

14

（2）由于PA=PC，H是AC的中点，
有PH⊥AC
又由面PAC⊥面ABC
面PAC∩面ABC=AC
有PH⊥面ABC
故∠PBH是直线PB与平面ABC所成的角
在△PBH中，PH=

2

2

，PH=

6

2

∴tan∠PBH=

PH

BH

=

3

故sin∠PBH=

3

2

（3）∵V_P-ABC=V_C-PAB=

1

3

S_△ABC•PH=

1

3

•

1

2

×1×1×

6

2

=

6

12

又由三角形PAB的面积S_△PAB=

7

4

∴点C到平面PAB的距离h=

3•VC-PAB

S△PAB

=

42

7

点评：本题考查的知识点是点、面间的距离计算，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是确定∠PEF是异面直线PE与AC所成的角或补角，（2）的关键是证得∠PBH是直线PB与平面ABC所成的角，（3）是的等体积法是求点到平面距离的常用方法．