Question

（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）已知为椭圆上两动点，分别为其左右焦点，直线过点，且不垂直于轴，的周长为，且椭圆的短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点为椭圆的左端点，连接并延长交直线于点．求证：直线过定点．

 

Answer 1

（1）；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：（1）结合图形及椭圆的定义先得到的周长为，进而根据条件列出方程组，从中求解即可得出的值，进而可写出椭圆的方程；（2）由（1）确定，进而设点，设直线，联立直线与椭圆的方程，解出点，设直线，可得，进而根据三点共线得出，将点的坐标代入并化简得到，进而求出点的坐标，，然后写出直线的方程并化简得到，从该直线方程不难得到该直线恒通过定点，问题得证.

（1）依题意有：的周长为

所以，则椭圆的方程为 4分

（2）由椭圆方程可知，点

设直线，由得，从而，，即点

同理设直线，可得 7分

由三点共线可得，即，代入两点坐标化简可得

9分

直线，可得点，即

从而直线的方程为

化简得，即，

从而直线过定点 12分.

考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.