Question

已知函数(d为常数）

（1）当对，求单调区间；

（2）若函数在区间(0，1)上无零点，求a的最大值．

 

Answer 1

（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）2

【解析】

试题分析：（1）当时，先求导函数，解不等式并和定义域求交集得函数的递增区间，解不等式并和定义域求交集得函数的递减区间；（2）若函数在区间(0，1)上无零点相当于对，恒成立或者恒成立，则可转化为求函数的最值．显然当时，恒成立，当时，先求得，令得，，分别讨论与定义域(0，1)的位置关系，研究函数的大致形状，从而求其最值,若最小值大于0则恒正，若最大值小于0则 恒负．

试题解析：（1）当时，函数，

由得，由得

故的单调递减区间为，单调递增区间为 5分

（2）若函数在区间上无零点，则

对，恒成立或者恒成立．

由，得，，

故若，恒成立；

若，，

所以，函数在区间上不可能恒成立，故要使函数在区间上无零点，只要对，恒成立． 8分

（后续步骤分为解法一和解法二）

解法一：

，

当，即时，由得，由得，

即在区间上单调递减，在区间上单调递增；

此时，

构造，，故，

所以当时，，即对，不恒成立，舍去；

10分

当，即时，由得，由得，

即在区间上单调递减，故，

满足对，恒成立，

综上，，即的最大值为2． 12分

解法二：

由对，恒成立可得对，恒成立．

令，

令，由得在区间上单调递增，

即，从而，

即在区间上单调递减，

由罗比达法则知，即，

若对，恒成立，可得，即的最大值为2 12分

考点：１、导数在单调性上的应用；2、利用导数求函数的极值、最值．