Question

19．设二次函数f（x）=2ax²-2$\sqrt{2}$x+$\frac{1}{2}$c（x∈R）的值域为[0，+∞），则$\frac{1}{c+2}$+$\frac{2}{a+2}$的取值范围是（$\frac{9}{5}$，$\frac{23}{10}$）．

Answer 1

分析 由于二次函数f（x）=2ax²-2$\sqrt{2}$x+$\frac{1}{2}$c（x∈R）的值域为[0，+∞），所以a＞0，且△=0，从而得到a，c的关系等式，再利用a，c的关系等式解出a，把$\frac{1}{c+2}$+$\frac{2}{a+2}$转化为只含一个变量的代数式，换元利用单调性求解．

解答 解：因为二次函数f（x）=2ax²-2$\sqrt{2}$x+$\frac{1}{2}$c（x∈R）的值域为[0，+∞），
所以$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{8-4•2a•\frac{1}{2}c=0}\end{array}\right.$⇒ac=2⇒c=$\frac{2}{a}$，
所以$\frac{1}{c+2}$+$\frac{2}{a+2}$=$\frac{1}{\frac{2}{a}+2}$+$\frac{2}{a+2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3a+2}{{a}^{2}+3a+2}$，
令t=3a+2（t＞2），则$\frac{1}{c+2}$+$\frac{2}{a+2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{9t}{{t}^{2}+5t+4}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{t+\frac{4}{t}+5}$
由于t＞2，∴t+$\frac{4}{t}$＞4，
所以$\frac{9}{5}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{t+\frac{4}{t}+5}$＜$\frac{23}{10}$
故答案为：（$\frac{9}{5}$，$\frac{23}{10}$）．

点评 此题考查了二次函数的值域，变量的替换及利用单调性求最值．