Question

13．某中学举行了一次“爱我黄山知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛的学生成绩，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[80，90）的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上的同学中随机抽取4名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动．设X表示所抽取的4名同学中得分在[85，100]的学生个数，求X的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知0.016=$\frac{8}{n×10}$，由此能求出样本容量n和频率分布直方图中x、y的值．
（Ⅱ）由题意，分数在[90，100]有2人，分数在[80，90）有5人，共7人，其中分数在[80，85）有3人，在[85，100]有4人，则分数在[85，100]的学生个数X的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）由题意知0.016=$\frac{8}{n×10}$，解得n=50，
∴y=$\frac{5}{50×10}$=0.01，
x=[1-10（0.004+0.01+0.016+0.04）]÷10=0.03．
（Ⅱ）由题意，分数在[90，100]有2人，分数在[80，90）有5人，共7人，
其中分数在[80，85）有3人，在[85，100]有4人，
则分数在[85，100]的学生个数X的可能取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{4}{35}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{0}{C}_{4}^{4}}{{C}_{7}^{4}}$=$\frac{1}{35}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{4}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{1}{35}$

E（X）=$\frac{4+36+36+4}{35}$=$\frac{16}{7}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．