Question

18．设二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为（-∞，0]，则$\frac{1}{c}+\frac{9}{a}$的最大值为-3．

Answer 1

分析 由二次函数f（x）的值域为（-∞，0]便可得出a＜0，ac=4，且c＜0，这样根据基本不等式即可得到$（-\frac{1}{c}）+（-\frac{9}{a}）≥3$，从而可以得出$\frac{1}{c}+\frac{9}{a}$的最大值．

解答 解：根据题意知，$a＜0，\frac{4ac-16}{4a}=0$；
∴ac=4；
∴c＜0；
∴$\frac{1}{c}+\frac{9}{a}=-[（-\frac{1}{c}）+（-\frac{9}{a}）]$；
$（-\frac{1}{c}）+（-\frac{9}{a}）≥2\sqrt{\frac{9}{ac}}=2\sqrt{\frac{9}{4}}=3$；
∴$\frac{1}{c}+\frac{9}{a}≤-3$；
∴$\frac{1}{c}+\frac{9}{a}$的最大值为-3．
故答案为：-3．

点评 考查二次函数f（x）=ax²+bx+c值域的求法，注意二次函数值域和二次函数图象的开口方向的关系，以及二次函数图象的开口方向和二次项系数符号的关系，基本不等式在求最值中的应用，不等式的性质．