在平面直角坐标系xOy中.曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$.且曲线C1上的点M对应的参数φ=$\frac{π}{3}$．以O为极点.x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆．射线$θ=\frac{π}{4}$与曲线C2交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C₁上的点M（2，$\sqrt{3}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂是圆心在极轴上且经过极点的圆．射线$θ=\frac{π}{4}$与曲线C₂交于点D（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲线C₁的普通方程，曲线C₂的极坐标方程；
（2）若A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲线C₁上的两点，求$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

分析（1）点M（2，$\sqrt{3}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），可得$\left\{\begin{array}{l}{2=acos\frac{π}{3}}\\{\sqrt{3}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a，b．可得曲线C₁的普通方程．设圆C₂的半径为R，则曲线C₂的极坐标方程为ρ=2Rcosθ，将点D$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$代入得R．
（2）曲线C₁的极坐标方程为$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{16}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$，将A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入即可得出．

解答解：（1）点M（2，$\sqrt{3}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），可得$\left\{\begin{array}{l}{2=acos\frac{π}{3}}\\{\sqrt{3}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
解得：a=4，b=2．
∴曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
设圆C₂的半径为R，则曲线C₂的极坐标方程为ρ=2Rcosθ，将点D$（\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$代入得R=1．．
∴圆C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（2）曲线C₁的极坐标方程为$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{16}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$，
将A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）代入可得：$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{16}$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}$，$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}θ}{16}$+$\frac{co{s}^{2}θ}{4}$．
∴$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{16}$．