Question

10．已知f（x）=mx³+nx²+t的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x-2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由已知列关于m，n，t的方程组求解方程组得m，n，t的值，则函数解析式可求；
（2）求出原函数的导函数，分别由导函数大于0和小于0求得x的范围得y=f（x）的单调区间．

解答 解：（1）f′（x）=3mx²+2nx，
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=t=1}\\{f′（1）=3m+2n=1}\\{f（1）=m+n+t=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{n=-7}\\{t=1}\end{array}\right.$．
∴f（x）=5x³-7x²+1；
（2）f′（x）=15x²-14x，
由f′（x）＞0，得x＜0或x$＞\frac{14}{15}$，
由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{14}{15}$．
∴函数f（x）的增区间为（-∞，0），（$\frac{14}{15}，+∞$）；减区间为（0，$\frac{14}{15}$）．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．