Question

已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被曲线截得的弦恰好被点所平分？

 

Answer 1

（1）；（2）即

【解析】

试题分析：（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程，或根据定义来求抛物线方程.（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；（3）求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，求出的值.

试题解析：（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线，

其方程为.

（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

①当直线的斜率不存在时，不合题意.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程组，

消去，得，（*）

∴，解得.

此时，方程（*）为，其判别式大于零，

∴存在满足题设的直线　　　　　　　　　　

且直线的方程为：即. 　　

解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，

依题意，得.

∵在轨迹上，

∴有，将，得.

当时，弦的中点不是，不合题意，

∴，即直线的斜率,

注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）

∴存在满足题设的直线　

且直线的方程为：即.

考点：（1）抛物线的标准方程；（2）直线与抛物线的综合问题.