Question

6．如图（1）在平面六边形ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=$\sqrt{2}$，BF=CF=$\sqrt{5}$，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．
（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；
结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；
结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．
（2）若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°，求三棱锥E-BCF的体积．

Answer 1

分析 （1）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，同理，点F在底面ABCD的射影在MN上，可设为点Q，推导出平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，由结论2能证明E、F、M、N四点共面．
（2）三棱锥E-BCF的体积V_E-BCF=V_ABCDEF-V_E-ABCD，由此能求出结果．

解答 证明：（1）由题意，点E在底面ABCD的射影在MN上，可设为点P，
同理，点F在底面ABCD的射影在MN上，可设为点Q，
则EP⊥平面ABCD，FQ⊥平面ABCD，
∴平面EMP⊥平面ABCD，平面FNQ⊥平面ABCD，
又MN?平面ABCD，MN?平面EMP，MN?平面FNQ，
由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个，
得到E、F、M、N四点共面．
解：（2）∵二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°，
∴∠EMP=∠FNQ=60°，∴EP=EM•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱锥E-BCF的体积：
V_E-BCF=V_ABCDEF-V_E-ABCD
=2×$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2）×\frac{\sqrt{3}}{2}$+（$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$）×3-$\frac{1}{3}×（4×2）$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查四点共面的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．