题目内容
16．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn+Sn-1=tan2（其中t为常数，t＞0，n≥2），已和a1=0，且当n≥2时，an＞0．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若对于n≥2，n∈N*，不等式$\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+\frac{1}{{{a_4}{a_5}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜2$恒成立，求t的取值范围．
分析 （1）由数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2（其中t为常数，t＞0，n≥2），n≥3时，Sn-1+Sn-2=t${a}_{n-1}^{2}$，相减可得：an+an-1=t（tan2-${a}_{n-1}^{2}$），可得an-an-1=$\frac{1}{t}$（n≥3）．由a1=0，S2+S1=$t{a}_{2}^{2}$，可得a2-a1=$\frac{1}{t}$．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{t}^{2}}{n（n-1）}$=${t}^{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：（1）∵数列{an}满足Sn+Sn-1=tan2（其中t为常数，t＞0，n≥2），
∴n≥3时，Sn-1+Sn-2=t${a}_{n-1}^{2}$，相减可得：an+an-1=t（tan2-${a}_{n-1}^{2}$），当n≥2时，an＞0．
∴an-an-1=$\frac{1}{t}$（n≥3）．
由a1=0，S2+S1=$t{a}_{2}^{2}$，可得a2=$t{a}_{2}^{2}$，解得a2=$\frac{1}{t}$．
∴a2-a1=$\frac{1}{t}$．
因此数列{an}是等差数列，∴an=0+$\frac{1}{t}（n-1）$．
（2）n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{t}^{2}}{n（n-1）}$=${t}^{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$．
∵对于n≥2，n∈N*，不等式$\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+\frac{1}{{{a_4}{a_5}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}＜2$恒成立，
∴${t}^{2}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$=${t}^{2}（1-\frac{1}{n}）$＜2，
要使上述不等式恒成立，则0＜t2≤2，
解得0$＜t≤\sqrt{2}$．
点评 本题考查了等差数列的定义通项公式、“裂项求和”方法、放缩法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
且
，则
．
我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．实际上，设圆锥母线与轴所成角为α，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为θ．当θ=$\frac{π}{2}$，截口曲线为圆，当$α＜θ＜\frac{π}{2}$时，截口曲线为椭圆；当0≤θ＜α时，截口曲线为双曲线； 当θ=α时，截口曲线为抛物线；如图2，正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是（ ）