Question

19．（1）已知正数a，b满足2a+b≤ab，求证：a+2b≥9．
（2）求证：1，$\sqrt{2}$，3不可能是一个等差数列中的三项．

Answer 1

分析 （1）用a表示出b，利用基本不等式得出最小值．
（2）使用反证法证明．

解答 证明：（1）∵2a+b≤ab，∴（a-1）b≥2a，
∵a，b都是正数，
∴a-1＞0，∴b≥$\frac{2a}{a-1}$．
∴a+2b≥a+$\frac{4a}{a-1}$=a-1+$\frac{4}{a-1}$+5≥9（当且仅当a-1=$\frac{4}{a-1}$即a=3，b=3时取等号）．
（2）假设1，$\sqrt{2}$，3是一个公差为d的等差数列中的三项，
设$\sqrt{2}$=1+md，3=1+nd，其中m，n均为非零整数．
∴$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$=$\frac{m}{n}$，
∵$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$是无理数，$\frac{m}{n}$是有理数，
∴$\frac{\sqrt{2}-1}{2}≠\frac{m}{n}$，与$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$=$\frac{m}{n}$矛盾．
∴1，$\sqrt{2}$，3不可能是一个等差数列中的三项．

点评 本题考查了不等式证明，反证法证明，属于基础题．