Question

12．抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，则使得直线bx+ay=1与圆x²+y²=1相交且所得弦长不超过$\frac{4\sqrt{2}}{3}$的概率为$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，所有的点数所形成的数组（a，b）有36种情况．若直线bx+ay=1与圆x²+y²=1相交且所得弦长不超过$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，则圆心到直线的距离不超过$\frac{1}{3}$，利用点到直线的距离公式建立不等式，列举出满足条件的（a，b），再利用古典概型公式加以计算，即可得到所求的概率

解答 解：解：根据题意，将一颗骰子先后投掷两次，得到的点数所形成的数组（a，b）有（1，1）、（1，2）、
（1，3）、…、（6，6），共36种，
其中满足直线bx+ay=1与圆x²+y²=1相交且所得弦长不超过$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，则圆心到直线的距离不小于$\frac{1}{3}$，
即1＞$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$≥$\frac{1}{3}$，即1＜a²+b²≤9的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）四种，
故直线bx+ay=1与圆x²+y²=1相交且所得弦长不超过$\frac{4\sqrt{2}}{3}$的概率P=$\frac{4}{36}$=$\frac{1}{9}$，
故答案为：$\frac{1}{9}$．

点评 本题给出实际应用问题，求概率，着重考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式和古典概型计算公式等知识，属于中档题