Question

13．已知数列{a_n}中，a₁=2，当n≥2时，a_n=2a_n-1+（n-1）•2ⁿ，设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1，则$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2n-2}{n}$．

Answer 1

分析 将已知变形为$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n-1，再由$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）+（$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$-$\frac{{a}_{n-2}}{{2}^{n-2}}$）+…+（$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$）+$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$可求得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n（n-1）}{2}$，于是b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，当n≥2时，利用裂项法可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），从而可得$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$的值．

解答 解：∵当n≥2时，a_n=2a_n-1+（n-1）•2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+（n-1），即$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）+（$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$-$\frac{{a}_{n-2}}{{2}^{n-2}}$）+…+（$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$）+$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$
=（n-1）+（n-2）+…+1+1=$\frac{n（n-1）}{2}$+1，
设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1，则b_n=$\frac{n（n-1）}{2}$+1-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴当n≥2时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）]=2（1-$\frac{1}{n}$）=$\frac{2n-2}{n}$．
故答案为：$\frac{2n-2}{n}$．

点评 本题考查数列递推式的应用，将已知变形为$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=n-1是关键，考查等价转化思想与累加法、公式法、裂项法的综合运用，属于难题．