Question

1．设a＞0，f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$在R上满足f（-x）=f（x）．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据f（-x）=-f（x），得到a-$\frac{1}{a}$=0，求出a的值即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）由题意得，对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
即$\frac{{e}^{x}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{1}{{ae}^{x}}$+ae^x，
∴（a-$\frac{1}{a}$）（$\frac{1}{{e}^{x}}$-e^x）=0对于任意x∈R成立，
由此可得a-$\frac{1}{a}$=0，即a²=1，
∵a＞0，∴a=1；
（2）设0＜x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$=（${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$）$\frac{1{-e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}{{e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}$，
由x₁＞0，x₂＞0，得：x₁+x₂＞0，${e}^{{x}_{2}}$-${e}^{{x}_{1}}$＞0，1-${e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的奇偶性和黑色的单调性问题，是一道中档题．