Question

给出下列命题：
（1）设随机变量X～N（1，5²），且P（X≤0）=P（X＞a-2），则实数a的值为4．
（2）已知事件A、B是相互独立事件，若P（A）=0.15，P（B）=0.60，则P（

.

A

B）=0.51（

.

A

表示事件A的对立事件）．
（3）（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二项展开式中，共有4个有理项．
（4）由曲线y=3-x²和直线y=2x所围成的面积为

32

3

．
则其中真命题的序号是（　　）

• A、（1）、（2）
• B、（1）、（3）
• C、（2）、（3）
• D、（1）、（2）、（3）、（4）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：概率与统计

分析：（1）依题意，知P（X≤0）=P（X＞2）=P（X＞a-2），即a-2=2，于是可求得实数a的值，可判断（1）；
（2）利用相互独立事件与对立事件的概率公式，可知P（

.

A

B）=P（

.

A

）P（B）=[1-P（A）]P（B），计算后可判断（2）（

.

A

表示事件A的对立事件）；
（3）利用（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二项展开式的通项公式T_r+1=

C

r 18

•(

3	x

)18-r•(

1

x

)r=

C

r 18

•x6-

5

6

r（0≤r≤18），令6-

5r

6

为整数，可求得r的值，从而可判断（3）；
（4）作出曲线y=3-x²和直线y=2x所围成的图形，设其面积为S，利用微积分基本定理计算后可判断（4）．

解答： 解：对于（1），∵随机变量X～N（1，5²），
∴P（X≤0）=P（X＞2），
∵P（X≤0）=P（X＞a-2），
∴a-2=2，解得：a=4，即实数a的值为4，故（1）正确；
对于（2），事件A、B是相互独立事件，P（A）=0.15，P（B）=0.60，
则P（

.

A

B）=P（

.

A

）P（B）=[1-P（A）]P（B）=0.85×0.60=0.51（

.

A

表示事件A的对立事件），故（2）正确；
对于（3），（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二项展开式中，T_r+1=

C

r 18

•(

3	x

)18-r•(

1

x

)r=

C

r 18

•x6-

5

6

r（0≤r≤18），
当r=0、6、12、18时，6-

5r

6

为整数，即（

3	x

+

1

x

）¹⁸的二项展开式中共有4个有理项，故（3）正确；
对于（4），由曲线y=3-x²和直线y=2x所围成的图形如下，设阴影部分的面积为S，

由

y=3-x2 y=2x

得：x²+2x-3=0，解得：x=-3或x=1，
则S=

∫

1 -3

（3-x²-2x）dx=（3x-

x3

3

-x²）

|

1 -3

=（2-

1

3

）-（-9+9-9）=

32

3

，故（4）正确．
综上所述，其中真命题的序号是：（1）（2）（3）（4）．
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查正态分布、概率与统计、微积分基本定理及二项式定理的应用，属于难题．