Question

3．在直角坐标系xoy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的普通方程；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出圆C的普通方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程代入圆方程得${t}^{2}+5\sqrt{2}t$+9=0，利用|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直线l过点M（3，4），其倾斜角为45°，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）．
圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，直角坐标方程为x²+y²-4y=0；
（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆方程得：${t}^{2}+5\sqrt{2}t$+9=0，
设A、B对应的参数分别为t₁、t₂，则t₁+t₂=5$\sqrt{2}$，t₁t₂=9，
于是|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=9．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．