Question

4．椭圆$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）焦点分别是F₁和F₂，过原点O作直线与椭圆相交于A，B两点，△ABF₂面积最大值为18，则椭圆短轴长（　　）

• A． 6
• B． 12
• C． 18
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设直线AB的方程为my=x，与椭圆方程联立解得：y²=$\frac{45{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}+45}$，x²=$\frac{45{m}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}+45}$．可得|AB|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，点F₂（c，0）到直线AB的距离d=$\frac{c}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．可得△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$|AB|d，即可得出．

解答 解：设直线AB的方程为my=x，联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x}\\{\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：y²=$\frac{45{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}+45}$，x²=$\frac{45{m}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}{m}^{2}+45}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{6b\sqrt{5（1+{m}^{2}）}}{\sqrt{{b}^{2}{m}^{2}+45}}$，
点F₂（c，0）到直线AB的距离d=$\frac{c}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
∴△ABF₂面积S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$×$\frac{6b\sqrt{5（1+{m}^{2}）}}{\sqrt{{b}^{2}{m}^{2}+45}}$×$\frac{c}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{3\sqrt{5}bc}{\sqrt{{b}^{2}{m}^{2}+45}}$≤bc，当且仅当m=0时取等号．
∴bc=18，
∴b²（45-b²）=324，解得b²=36，b=6．
∴椭圆短轴长=12．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．