Question

求证：（1）cosθ+cosφ=2cos

θ+φ

2

•cos

θ-φ

2

     （2）3+cos4α-4cos2α=8sin⁴α

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：证明题,三角函数的求值

分析：（1）令

θ+φ

2

=α，

θ-φ

2

=β，则θ=α+β，φ=α-β，再由两角和差的余弦公式，化简即可得证；
（2）运用二倍角的余弦公式，结合完全平方公式，化简即可得证．

解答： 证明：（1）令

θ+φ

2

=α，

θ-φ

2

=β，则θ=α+β，φ=α-β，
即有cosθ+cosφ=cos（α+β）+cos（α-β）=cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ
=2cosαcosβ=2cos

θ+φ

2

•cos

θ-φ

2

；
（2）3+cos4α-4cos2α=3+2cos²2α-1-4cos2α
=2（cos²2α-2cos2α+1）
=2（cos2α-1）²=2×（2sin²α）²=8sin⁴α，
即3+cos4α-4cos2α=8sin⁴α．

点评：本题考查三角恒等式的证明，主要考查二倍角公式和两角和差的余弦公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题．