Question

8．已知函数f（x）=|2x-1|+x．
（1）根据绝对值和分段函数知识，将f（x）写成分段函数；
（2）在如图的直角坐标系中画出函数f（x）的图象，根据图象，写出函数的单调区间、值域（不要求证明）；
（3）若在区间[$\frac{1}{2}$，+∞）上，满足f（a）＞f（3a-2），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据根据绝对值和分段函数知识，将f（x）写成分段函数即可，
（2）描点画图即可，并写出单调区间，
（3）根据函数的单调性得到，关于a的不等式，解得即可．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{3x-1}&{x≥\frac{1}{2}}\\{-x+1}&{x＜\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$；
（2）单调增区间$[{\frac{1}{2}，+∞}）$，单调减区间$（{-∞，\frac{1}{2}}）$，值域：$[{\frac{1}{2}，+∞}）$

（3）在区间$[{\frac{1}{2}，+∞}）$上，f（x）单调性增，不等式满足$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{1}{2}}\\{3a-2≥\frac{1}{2}}\\{a＞3a-2}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{5}{6}≤a＜1$．

点评 本题考查了绝对函数和分段函数的图象和性质和不等式组的解法，属于基础题．