Question

已知双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点．

（1）求双曲线的方程；

（2）经过的双曲线右焦点作倾斜角为30°直线，直线与双曲线交于不同的两点,求的长．

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．

 

试题解析：（1）∵双曲线的离心率为，点是双曲线的一个顶点，

∴，解得，

∴双曲线的方程为．

（2）双曲线的右焦点为，

∴经过的双曲线右焦点作倾斜角为30°直线的方程为，

联立，得，设，则，．

所以．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题．