Question

2．求下列函数的值域．
（1）y=$\sqrt{x}$-1；
（2）y=x²-2x+3，x∈[0，3）；
（3）y=2x-$\sqrt{x-1}$；
（4）y=$\frac{2x+1}{x-3}$．

Answer 1

分析 根据函数的不同的特点进行不同的变换．

解答 解：（1）∵x≥0，∴$\sqrt{x}$≥0，
∴y=$\sqrt{x}$-1≥-1，
故函数y=$\sqrt{x}$-1的值域为[-1，+∞）；
（2）y=x²-2x+3=（x-1）²+2，x∈[0，3）；
∴函数y=x²-2x+3，x∈[0，3）的值域为[2，6）；
（3）y=2x-$\sqrt{x-1}$；
令$\sqrt{x-1}$=m，m∈[0，+∞），
∴y=2m²-m+2，
∵抛物线开口向上，且与x轴无交点，则在顶点处y有最小值，
∴m=$\frac{1}{4}$时，即x=$\frac{17}{16}$时，y_min=$\frac{15}{8}$，
∴函数y=2x-$\sqrt{x-1}$的值域为[$\frac{15}{8}$，+∞）；
（4）y=$\frac{2x+1}{x-3}$=$\frac{7}{x-3}$+2，
由$\frac{7}{x-3}$≠0，得$\frac{7}{x-3}$+2≠2，
∴函数y=$\frac{2x+1}{x-3}$．的值域为{y|y≠2}．

点评 本题考查函数的值域及其求法，考查学生灵活的运用所学知识解决问题的能力，属于中档题．