Question

将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，5，10，17， 记为数列，第一

数列1，4，9，16，25， 记为数列

（1）写出数列，的通项公式；

（2）若数列，的前n项和分别为，用数学归纳法证明：；

（3）当时，证明：．

 

Answer 1

（1）；（2）证明略；（3）证明略.

【解析】

试题分析：（1）数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题,用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值是多少；（2)由时等式成立，推出时等式成立，一要找出等式两边的变化（差异），明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写；（3）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.

试题解析：【解析】
（1）由，得：， 3分

． 4分

① 当时，，∴，又，∴时等式成立； 5分

② 假设时等式成立，即，

则时，

，

∴时等式也成立． 8分

根据①②，都成立． 9分

（3）当时，，∴． 11分

又

．

综上可知：成立． 14分

考点：（1）求数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明命题；（3）裂项法求数列的和.