Question

1．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f（B）=4sinBcos²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）+cos2B，若f（B）-m＜2恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m＞$\frac{5}{4}$
• B． m＜-$\frac{3}{4}$
• C． m＞1
• D． m＞-$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 利用倍角公式化简可得：f（B），再利用三角函数与二次函数的单调性可得f（B）的最大值．f（B）-m＜2恒成立，可得m＞f（B）-2的最大值．

解答 解：f（B）=4sinBcos²（$\frac{π}{4}$+$\frac{B}{2}$）+cos2B=2sinB[1+cos$（\frac{π}{2}+B）$]+cos2B=2sinB-2sin²B+cos2B
=-4sin²B+2sinB+1=-4$（sinB-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{5}{4}$≤$\frac{5}{4}$．
∵f（B）-m＜2恒成立，∴m＞f（B）-2的最大值，
∴m＞$\frac{5}{4}-2$=-$\frac{3}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了二次函数的单调性、倍角公式、恒成立等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．