Question

6．已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和为S_n，且点P（a_n，a_n+1）在直线y=x+1上，则$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$=（　　）

• A． $\frac{2n}{n+1}$
• B． $\frac{2}{n（n+1）}$
• C． $\frac{n（n+1）}{2}$
• D． $\frac{n}{2（n+1）}$

Answer 1

分析 通过将点P（a_n，a_n+1）代入直线y=x+1，进而可知数列{a_n}是首项、公差均为1的等差数列，从而裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：因为点P（a_n，a_n+1）在直线y=x+1上，
所以a_n+1=a_n+1，
又因为a₁=1，
所以数列{a_n}是首项、公差均为1的等差数列，
所以S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
所以$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
故选：A．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．