Question

20．已知P点是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上异于顶点的任一点，且∠F₁PF₂=60°，则这样的点P有4个．

Answer 1

分析 设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，由椭圆的定义可知t₁+t₂=2a，利用余弦定理求得t₁²+t₂²-2t₁t₂=2a²，即可求得t₁t₂的值，运用椭圆的第二定义，表达出t₁和t₂，
即可求得x₀的值，代入椭圆方程求得y₀的值，写出P点坐标．

解答 解：设P（x₀，y₀），由题意可知：设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则t₁+t₂=2a，
两边平方得：t₁²+t₂²+2t₁t₂=4a²①，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可知：t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4c²，②，
①-②得t₁t₂=$\frac{4}{3}$b²，
运用椭圆的第二定义，即有焦半径公式，
t₁=e（x₀+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=a+ex₀，t₂=a-ex₀，
∴a²-e²x₀²=$\frac{4}{3}$b²，
解得：x₀=±$\frac{1}{e}×\sqrt{\frac{3{c}^{2}-{b}^{2}}{3}}$，
代入椭圆方程求得：y₀=±$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}}{3c}$，
写出P点坐标（$\frac{1}{e}×\sqrt{\frac{3{c}^{2}-{b}^{2}}{3}}$，$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}}{3c}$）（$\frac{1}{e}×\sqrt{\frac{3{c}^{2}-{b}^{2}}{3}}$，-$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}}{3c}$）（-$\frac{1}{e}×\sqrt{\frac{3{c}^{2}-{b}^{2}}{3}}$，$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}}{3c}$）（-$\frac{1}{e}×\sqrt{\frac{3{c}^{2}-{b}^{2}}{3}}$，-$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}}{3c}$）
∴这样的P有四个，
故答案为：4．

点评 本题主要考查椭圆的两个定义，考查余弦定理，关键是应用椭圆的定义和余弦定理以及焦半径公式转化，属于中档题．