Question

5．已知圆C：x²+y²-2x-6y-3=0．
（1）求圆心C的坐标；
（2）若直线l：x-y+a=0与圆C相交于两点A，B，且弦长|AB|=5$\sqrt{2}$，求实数a的值；
（3）问是否存在实数k，使得直线y=kx+3与圆C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【提示：（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），以MN为直径的圆经过坐标原点O?OM⊥ON?x₁x₂+y₁y₂=0】

Answer 1

分析 （1）圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径；
（2）由弦长|AB|=5$\sqrt{2}$，利用勾股定理，即可求出实数a的值；
（2）假设存在实数k，使得直线y=kx+3与圆C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，则x₁x₂+y₁y₂=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2x-6y-3=0，可化为（x-1）²+（y-3）²=13，∴圆心C的坐标（1，3）；
（2）圆心到直线的距离d=$\frac{|1-3+a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{13-（\frac{5\sqrt{2}}{2}）^{2}}$，∴a=1或3；
（3）记M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
假设存在实数k，使得直线y=kx+3与圆C交于M，N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，
则x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+3）（kx₂+3）=0，
即（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
直线y=kx+3与圆C：x²+y²-2x-6y-3=0联立，消去y，
可得（1+k²）x²-2x-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-12}{1+{k}^{2}}$，
∴-12+$\frac{6k}{1+{k}^{2}}$+9=0，
∴k=1，满足题意．

点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，是中档题．