Question

已知幂函数f（x）=x -k2+k+2，（k∈Z）满足f（2）＜f（3）．
（1）求实数k的值，并求出相应的函数f（x）解析式；
（2）对于（1）中的函数f（x），试判断是否存在正数q，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上值域为[-4，

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]．若存在，求出此q．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知可得幂函数f（x）=x -k2+k+2，（k∈Z）为增函数，由-k²+k+2＞0求得k的值，则幂函数解析式可求；
（2）把f（x）代入g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x，整理后求其对称轴方程，分对称轴大于-1和小于等于-1分类分析得答案．

解答： 解：（1）由f（2）＜f（3），可得幂函数f（x）=x -k2+k+2，（k∈Z）为增函数，
则-k²+k+2＞0，解得：-1＜k＜2，
又k∈Z，∴k=1或k=0，
则f（x）=x²；
（2）由g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x=-qx²+（2q-1）x+1，
其对称轴方程为x=

2q-1

2q

=1-

1

2q

，
由q＞0，得1-

1

2q

＜1，
当1-

1

2q

＞-1，即q＞

1

4

时，
g(x)max=g(1-

1

2q

)=

4q2+1

4q

．
由

4q2+1

4q

=

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，解得q=2或q=

1

8

（舍去），
此时g（-1）=-2×（-1）²+3×（-1）+1=-4，g（2）=-2×2²+3×2+1=-1，
最小值为-4，符合要求；
当1-

1

2q

≤-1，即q≤

1

4

时，g（x）_max=g（-1）=-3q+2，g（x）_min=g（2）=-1，不合题意．
∴存在正数q=2，使函数g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在区间[-1，2]上值域为[-4，

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8

]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了幂函数的单调性，考查了利用分类讨论求二次函数的最值，是中档题．