Question

4．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=l，点P在棱DF上．
（Ⅰ）若P为DF的中点，求证：BF∥平面ACP；
（Ⅱ）求三棱锥P-BEC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接OP，由P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，利用三角形中位线定理可得BF∥OP，再由线面平行的判定可得BF∥平面ACP．   
（II）由已知可证平面CDFE⊥平面ADF，在Rt△DAF中，求得A到平面CDFE的高h，再求出三角形PEC的面积，利用等积法求得三棱锥P-BEC的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接BD，交AC于点O，连接OP．
∵P是DF中点，O为矩形ABCD 对角线的交点，
∴OP为三角形BDF中位线，
∴BF∥OP，
∵BF?平面ACP，OP?平面ACP，
∴BF∥平面ACP．   
（II）解：∵∠BAF=90°，∴AB⊥AF，
又四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADF，又AB∥EF，EF?平面CDFE，
∴平面CDFE⊥平面ADF，
在Rt△DAF中，由AD=2，AF=l，求得A到平面CDFE的高h=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
又${S}_{△PEC}=\frac{1}{2}{S}_{四边形CDFE}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+1）×\sqrt{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{8}$．
∴${V_{P-BEC}}={V_{B-PEC}}=\frac{1}{3}{S_{△PEC}}h=\frac{1}{3}×\frac{{3\sqrt{5}}}{8}×\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．