Question

19．在平面直角坐标系xOy内，动点M（x，y）与两定点（-2，0），（2，0）连线的斜率之积为-$\frac{1}{4}$．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是轨迹C上相异的两点．
（Ⅰ）过点A，B分别作抛物线y²=4$\sqrt{3}$x的切线l₁，l₂，l₁与l₂两条切线相交于点$N（{-\sqrt{3}，t}）$，证明：$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=0；
（Ⅱ）若直线OA与直线OB的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，证明：S_△AOB为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）利用直线的斜率公式，${k}_{M{F}_{1}}$•${k}_{M{F}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，x≠2，整理即可求得动点M的轨迹C的方程；
（2）（Ⅰ）设切线为：$y-t=k（{x+\sqrt{3}}）$，代入椭圆方程，由△=0，利用韦达定理即可求得k₁k₂=-1，即可证明$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}$=0；
（Ⅱ）由条件得：4y₁y₂=-x₁x₂，$x_1^2+x_2^2=4$，$y_1^2+y_2^2=1$，根据三角形的面公式${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{|{OA}||{OB}|}）}^2}-{{（{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}）}^2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{x_1^2+x_2^2}=1$，为定值．

解答 解：（1）依题意：动点M（x，y）与两定点F₁（-2，0），F₂（2，0）连线的斜率之积为-$\frac{1}{4}$．
则${k}_{M{F}_{1}}$•${k}_{M{F}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}$，x≠2，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，x≠2，
（2）（Ⅰ）证明：设直线NA的斜率为k₁，设直线NB的斜率为k₂，设切线为：$y-t=k（{x+\sqrt{3}}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}y-t=k（{x+\sqrt{3}}）\\{y^2}=4\sqrt{3}x\end{array}\right.$，ky²-4$\sqrt{3}$ty+4$\sqrt{3}$t+12k=0，△=0，即$3{k^2}+\sqrt{3}kt-3=0$，
由韦达定理可知：k₁k₂=-1，则$\overrightarrow{NA}•\overrightarrow{NB}=0$．
（Ⅱ）证明：由条件得：4y₁y₂=-x₁x₂，4y₁y₂=-x₁x₂，$16y_1^2y_2^2=x_1^2x_2^2$=16（1-$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$）（1-$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$），$x_1^2+x_2^2=4$，
∴$y_1^2+y_2^2=1$，
则${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{|{OA}||{OB}|}）}^2}-{{（{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}）}^2}}$，
=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{{x_1}{y_2}}）}^2}+{{（{{x_2}{y_1}}）}^2}-2{x_1}{x_2}{y_1}{y_2}}$，
=$\frac{1}{2}\sqrt{x_1^2（{1-\frac{x_2^2}{4}}）+x_2^2（{1-\frac{x_1^2}{4}}）+2{x_1}{x_2}\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}}$，
=$\frac{1}{2}\sqrt{x_1^2+x_2^2}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程，直线的斜率公式，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．