Question

5．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁、a₃、S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=15，若S_n-1600≥0，则n的最小值为40．

Answer 1

分析 等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁、a₃、S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=15，利用等差数列的通项公式及前n项和公式列出方程组，由此能求出n的最小值．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁、a₃、S₃成等差数列，且a₂+a₃+a₄=15，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（{a}_{1}+2d）={a}_{1}+（3{a}_{1}+3d）}\\{{a}_{1}+d+{a}_{1}+2d+{a}_{1}+3d=15}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²，
∵S_n-1600≥0，∴n²≥1600，
∵n∈N^*，∴n的最小值为40．
故答案为：40．

点评 本题考查项数n的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．