Question

15．已知直线L经过点P（$\frac{1}{2}$，1），倾斜角$α=\frac{π}{6}$，在极坐标系下，圆C的极坐标方程为$ρ=\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$．
（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
（2）设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．

Answer 1

分析 （1）利用直线参数方程的定义，我们易得到直线l的参数方程，再由圆C的极坐标方程为$ρ=\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$，利用两角差的余弦公式，我们可得ρ=cosθ+sinθ，进而即可得到圆C的标准方程．
（2）联立直线方程和圆的方程，我们可以得到一个关于t的方程，由于|t|表示P点到A，B的距离，故点P到A，B两点的距离之积为|t₁•t₂|，根据韦达定理，即可得到答案．

解答 解：（1）直线L经过点P（$\frac{1}{2}$，1），倾斜角$α=\frac{π}{6}$，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
圆C的极坐标方程为$ρ=\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$，即ρ=cosθ+sinθ，化为直角坐标方程x²+y²=x+y；
（2）直线l的参数方程代入圆的方程，可得t²+$\frac{1}{2}t$-$\frac{1}{4}$=0，
∴|PA||PB|=|t₁•t₂|=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的方程的应用，点的极坐标和直角坐标的互化，其中准确理解直线参数方程中参数的几何意义，极坐标方程中ρ，θ的几何意义，是解答本题的关键．