Question

13．已知如图①，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如图②．
（1）判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求棱锥E-DFC的体积．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由中位线定理得AB∥EF，由此能证明AB∥平面DEF．
（2）推导出AD⊥BC，从而AD⊥平面BDC，进而点E到平面BDC的距离为$\frac{1}{2}AD=1$，由此能求出棱锥E-DFC的体积．

解答 解：（1）直线AB∥平面DEF．
证明如下：
在△ABC中，∵E，F为中点，
∴AB∥EF，
∵AB?平面DEF，EF⊆平面DEF，
∴AB∥平面DEF．
解：（2）∵二面角A-DC-B是直二面角，
∴平面ADC⊥平面BDC，
∵AC=BC，D为AB中点，∴AD⊥BC，
∵平面ADC∩平面BDC=DC，AD?平面ADC，
∴AD⊥平面BDC，
∴点E到平面BDC的距离为$\frac{1}{2}AD=1$，
又∵${S_{△DFC}}=\frac{1}{2}{S_{△DBC}}=\frac{1}{4}{S_{△ABC}}=\sqrt{3}$，
∴${V_{E-DFC}}=\frac{1}{3}{S_{△DFC}}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查线面关系的判断与证明，考查棱锥体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．