题目内容
已知数列
的前
项和为
，
，
，
，其中
为常数．
（1）证明：
；
（2）当
为何值时，数列
为等差数列？并说明理由．
（1）详见解析；（2）
，理由详见解析．
【解析】
试题分析：（1）欲证
，由条件
，考虑到
，因此可以利用，
，两式相减，即可消去
得到
，再由
，即可得到
；（2）由
，
，可得
，再由（1）可知
，故若数列
为等差数列，则有
，解得
，接下来只需证明当
时，数列
确实为等差数列，结合（1）首先对
的奇偶性进行分类讨论：由（1）可得
是首项为
，公差为
的等差数列，
，而
是首项为
，公差为
的等差数列，
，因此
，
，故当
时，数列
是以
为首项，
为公差的等差数列．
试题解析：（1）由题设，，， 2分
两式相减，得， 3分
∵，∴； 4分
（2）由题设，，，可得， 5分
由（1）知，，若数列
为等差数列，则，解得
， 6分
故
，由此可得是首项为，公差为的等差数列，， 7分
是首项为，公差为的等差数列，， 8分
∴，， 10分
因此当时，数列是以为首项，为公差的等差数列． 12分
考点：1．数列的通项公式；2．等差数列的证明．
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，
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，
，
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，
，
，
，
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___________.