Question

4．已知函数f（x）=lnx-x+1．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）求证：当x＞0时，1-$\frac{1}{x}$≤lnx≤x-1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据（1）证明lnx≤x-1，构造函数g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，证明1-$\frac{1}{x}$≤lnx；

解答 解：（1）由已知得x＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}$-1，
由f′（x）＞0，得$\frac{1}{x}$-1＞0，$\frac{1}{x}$＞1，x＜1，
由f′（x）＜0，得$\frac{1}{x}$-1＜0，$\frac{1}{x}$＜1，x＞1，
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，在（0，1）为增函数；
（2）由（1）知：当x=1时，f（x）_max=-1+1=0，
对任意x＞0，有f（x）≤0，
即lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1①，
令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴g（x）_min=g（1）=1，
故lnx+$\frac{1}{x}$≥1，即1-$\frac{1}{x}$≤lnx②，
由①②得：当x＞0时，1-$\frac{1}{x}$≤lnx≤x-1．

点评 本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，解题的关键是构建新函数，确定函数的单调性，属于中档题．