Question

6．已知函数f（x）=1+$\frac{a}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$，且曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+4=0平行．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性；
（3）记g（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，试证明：当x＞1时，f（x）＞（e+1）g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，根据f′（1）=1，求出a的值即可；
（2）求出f（x）的导数，根据导函数的单调性求出f′（x）＞0，从而求出f（x）在（0，+∞）递增；
（3）根据函数的单调性分别得出$\frac{f（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$，g（x）＜$\frac{2}{e+2}$，从而证出结论．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-a+x-lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令f′（1）=1，得2-a=1，解得a=1；
（2）由（1）知，
f（x）=1+$\frac{1}{x}$+lnx+$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
再令ω（x）=x-lnx   则ω′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
当x＞1时，ω′（x）＞0，ω（x）递增，
当0＜x＜1时，ω′（x）＜0，ω（x）递减，
∴ω（x）在x=1处取得唯一的极小值，即为最小值，
即ω（x）≥ω（1）=1＞0，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）要证f（x）＞（e+1）g（x），
即证$\frac{f（x）}{e+1}$＞g（x），
x＞1时，f（x）是增函数，
故f（x）＞f（1）=2，
故$\frac{f（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$，
g′（x）=$\frac{{2e}^{x-1}（1{-e}^{x}）}{{（{xe}^{x}+1）}^{2}}$，
∵x＞1，∴1-e^x＜0，∴g′（x）＜0，
即g（x）在（1，+∞）递减，
∴x＞1时，g（x）＜g（1）=$\frac{2}{e+1}$，
∴$\frac{f（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$＞g（x），
即f（x）＞（e+1）g（x）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查曲线的切线方程问题，是一道中档题．