Question

14．函数f（x）=cos²x-2cos²$\frac{x}{2}$在[0，π]上的单调递增区间是[$\frac{π}{3}$，π]．

Answer 1

分析 根据二倍角的余弦公式变形化简解析式，设t=cosx，由x∈[0，π]得t∈[-1，1]，代入原函数利用配方法化简，由二次函数、余弦函数和复合函数的单调性，即可求出f（x）的单调递增区间．

解答 解：由题意得，f（x）=cos²x-2cos²$\frac{x}{2}$
=cos²x-（1+cosx）=cos²x-cosx-1，
设t=cosx，由x∈[0，π]得t∈[-1，1]，代入原函数得，
y=t²-t-1=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，则函数f（t）在[-1，$\frac{1}{2}$]上单调递减，
∵t=cosx在[0，π]上的单调递减，∴f（x）在[$\frac{π}{3}$，π]上的单调递增，
即f（x）的单调递增区间是[$\frac{π}{3}$，π]，
故答案为：[$\frac{π}{3}$，π]．

点评 本题考查二倍角的余弦公式变形，二次函数、余弦函数和复合函数的单调性，以及配方法、换元法的应用，考查转化思想，属于中档题．