Question

20．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知曲线l$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={ρ}^{2}}\end{array}\right.$代入即可得出直角坐标方程．
（II）把曲线l$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C的方程化为：t²-2$\sqrt{2}$t=0，利用|AB|=|t₂-t₁|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ-2cosθ，可得ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
∴直角坐标方程为：x²+y²=2y-2x．
（II）把曲线l$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C的方程化为：t²-2$\sqrt{2}$t=0，
∴t₁+t₂=2$\sqrt{2}$，t₁t₂=0．
∴|AB|=|t₂-t₁|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．