Question

11．△ABC中，若4sinA+2cosB=4，$\frac{1}{2}sinB+cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，则角C=$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 先对条件中两个式子平方后相加得到关于A+B的正弦值，再由诱导公式得到角C的正弦值，最后得到答案．

解答 解：∵4sinA+2cosB=4，$\frac{1}{2}sinB+cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=$\sqrt{3}$，
∴两边同时平方，然后两式相加，化简得5+4（sinAcosB+sinBcosA）=7，
∴sin（A+B）=$\frac{1}{2}$，
∴sin（180°-C）=sinC=$\frac{1}{2}$，
∴得出∠C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
∵若∠C=$\frac{5π}{6}$，可得：A+B=$\frac{π}{6}$，cosB＜1，2sinA＜1，2sinA+cosB=2，不成立，
∴∠C=$\frac{π}{6}$．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角和与差的正弦公式的应用．属基础题．