Question

对任意实数、，函数、满足，且，，，。

（1）求、的通项公式；

（2）设，求数列的前项和；

（3）已知，设，是否存在整数和，使得不等式对任意正整数恒成立？若存在，分别求出和的集合，并求出的最小值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）取，则。

取得

故是首项为1、公比为的等比数列，

∴

取，得

即

∴是公差为2的等差数列。

 又，因此，

 即

（2）

∴

两式相减得，

。

（3）

∴

∴为增函数，故。

 

又

∴

因此，当，且时，恒成立。

∴存在整数m＝0，－l，－2，－3，…，M＝3，4，5，6，…，

使得对任意正整数，不等式恒成立。

此时，m的集合是{0，－l，－2，－3，…}，

M的集合是{3，4，5，6，…}且。