Question

13．（Ⅰ）已知在△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$求（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（Ⅱ）已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，3），且向量t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$平行，求t的值．

Answer 1

分析 （I）根据平面向量的坐标表示与运算性质，计算即可；
（II）根据平面向量共线定理，列出方程求出t的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=$\frac{π}{3}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×2×cos$\frac{2π}{3}$=-1；
∴（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=8${\overrightarrow{a}}^{2}$-10$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-3${\overrightarrow{b}}^{2}$
=8×1²-10×（-1）-3×2²
=6；…（5分）
（Ⅱ）向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（-1，3），
∴t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2t-1，t+3），
$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（3，-2）；
又向量t$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与向量$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$平行，
∴-2（2t-1）-3（t+3）=0，
解得t=-1…（10分）

点评 本题考查了平面向量的运算与向量共线定理的应用问题，是基础题．